3. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км по течению реки и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Решение:

Обозначим собственную скорость катера как \( v_к = 8 \) км/ч. Скорость течения реки обозначим как \( v_т \) км/ч.

Скорость катера по течению: \( v_{по} = v_к + v_т = (8 + v_т) \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v_{против} = v_к - v_т = (8 - v_т) \) км/ч.

Расстояние в одну сторону \( S = 15 \) км.

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{15}{8 + v_т} \) ч.

Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{15}{8 - v_т} \) ч.

Общее время в пути \( t_{общ} = 4 \) ч.

Составим уравнение:

\[ t_{по} + t_{против} = t_{общ} \]

\[ \frac{15}{8 + v_т} + \frac{15}{8 - v_т} = 4 \]

Приведем дроби к общему знаменателю \( (8 + v_т)(8 - v_т) = 64 - v_т^2 \):

\[ \frac{15(8 - v_т) + 15(8 + v_т)}{64 - v_т^2} = 4 \]

\[ \frac{120 - 15v_т + 120 + 15v_т}{64 - v_т^2} = 4 \]

\[ \frac{240}{64 - v_т^2} = 4 \]

\[ 240 = 4(64 - v_т^2) \]

\[ 240 = 256 - 4v_т^2 \]

\[ 4v_т^2 = 256 - 240 \]

\[ 4v_т^2 = 16 \]

\[ v_т^2 = 4 \]

Так как скорость течения не может быть отрицательной, \( v_т = 2 \) км/ч.

Ответ: Скорость течения реки равна 2 км/ч.