№3. Кондитер испек 35 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 20 рогаликов посыпал сахарной пудрой. Некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. Ответ запишите без пробелов, запятых или других дополнительных символов.

Решение:

Всего испекли 35 рогаликов. 10 рогаликов с глазурью (Г). 20 рогаликов с сахарной пудрой (П).

Некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой (Г ∩ П).

Возможные утверждения:

1. Все рогалики с глазурью могут быть посыпаны сахарной пудрой. Это возможно, если все 10 рогаликов с глазурью также имеют сахарную пудру. В этом случае, 10 рогаликов имеют и глазурь, и пудру. Тогда рогаликов только с пудрой будет 20 - 10 = 10. Общее число рогаликов с глазурью или пудрой будет 10 (с обоими) + 10 (только с пудрой) = 20. Это меньше или равно общему числу рогаликов (35). Утверждение верно.

2. Ровно 5 рогаликов имеют и глазурь, и сахарную пудру. Это возможно, но не обязательно. Например, может быть 0 рогаликов с обоими ингредиентами, или 10, или любое число между ними, при условии, что общее число не превышает 35.

3. Ровно 5 рогаликов не имеют ни глазури, ни сахарной пудры. Это одно из возможных состояний. Если 10 рогаликов с глазурью и 20 с пудрой, и все они уникальны (нет пересечений), то всего 10 + 20 = 30 рогаликов. Тогда 35 - 30 = 5 рогаликов без покрытий. Если же есть пересечения, например 5 рогаликов с обоими, то с глазурью только - 10-5=5, с пудрой только - 20-5=15. Итого: 5 (только Г) + 15 (только П) + 5 (оба) = 25. Тогда рогаликов без покрытий 35 - 25 = 10. Значит, ровно 5 рогаликов без покрытий - это частный случай, а не обязательное условие.

4. Хотя бы один рогалик не имеет ни глазури, ни сахарной пудры. Максимальное число рогаликов, которые имеют хотя бы одно покрытие: 10 (с глазурью) + 20 (с пудрой) = 30. Так как всего 35 рогаликов, то 35 - 30 = 5 рогаликов остаются без покрытий. Значит, хотя бы один рогалик без покрытий точно есть. Утверждение верно.

5. Количество рогаликов только с глазурью не превышает 10. Если все 10 рогаликов с глазурью также имеют сахарную пудру, то рогаликов только с глазурью 0. Если ни один рогалик с глазурью не имеет сахарной пудры, то рогаликов только с глазурью 10. Максимальное число рогаликов только с глазурью равно 10. Утверждение верно.

6. Количество рогаликов только с сахарной пудрой не превышает 20. Если все 20 рогаликов с пудрой также имеют глазурь, то рогаликов только с пудрой 0. Если ни один рогалик с пудрой не имеет глазури, то рогаликов только с пудрой 20. Максимальное число рогаликов только с сахарной пудрой равно 20. Утверждение верно.

7. Хотя бы один рогалик имеет глазурь. По условию, 10 рогаликов политы глазурью. Утверждение верно.

8. Ровно 30 рогаликов имеют хотя бы одну из посыпок. Это верно, если рогалики с глазурью и рогалики с пудрой не пересекаются. Но они могут пересекаться. Максимальное число рогаликов с хотя бы одной посыпкой = 10 (глазурь) + 20 (пудра) = 30, если нет пересечений. Если есть пересечение, например, 5 рогаликов имеют оба покрытия, то рогаликов только с глазурью - 5, только с пудрой - 15. Тогда всего с хотя бы одной посыпкой: 5 (только Г) + 15 (только П) + 5 (оба) = 25. Значит, 30 - это максимум, но не всегда верно.

9. Не более 30 рогаликов имеют хотя бы одну посыпку. Максимальное число рогаликов с хотя бы одной посыпкой равно сумме тех, что с глазурью, и тех, что с пудрой, если нет пересечений: 10 + 20 = 30. Если есть пересечения, то число будет меньше 30. Утверждение верно.

10. Не более 25 рогаликов имеют хотя бы одну посыпку. Это неверно, так как мы видели, что 30 рогаликов могут иметь хотя бы одну посыпку.

Верные утверждения: 1, 4, 5, 6, 7, 9.

Ответ: 145679