Контрольные задания
Вопрос:

3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-2} - \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} = 80;\)

Фото задания: 3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-2} - \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} = 80;\)Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Обозначим \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \). Тогда уравнение примет вид: \( y \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} - y \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 80 \).
  2. Вычислим степени: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 \) и \( \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \).
  3. Подставим значения в уравнение: \( 9y - \frac{1}{9}y = 80 \).
  4. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{81y - y}{9} = 80 \) \( \frac{80y}{9} = 80 \).
  5. Решим относительно \( y \): \( y = \frac{80 \cdot 9}{80} = 9 \).
  6. Теперь найдём \( x \), подставив \( y = 9 \) в \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \): \( \left(\frac{1}{3}\right)^x = 9 \) \( 3^{-x} = 3^2 \).
  7. Приравниваем показатели степени: \( -x = 2 \), следовательно \( x = -2 \).

Ответ: x = -2.