3) $\left(\frac{y-2}{y^2+2}+\frac{y+2}{y-2}\right):\frac{2y^2+8}{y^2+4y+4}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) $\left(\frac{y-2}{y^2+2}+\frac{y+2}{y-2}\right):\frac{2y^2+8}{y^2+4y+4}$$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

\[\frac{y-2}{y^2+2}+\frac{y+2}{y-2}=\frac{(y-2)^2+(y+2)(y^2+2)}{(y^2+2)(y-2)}.\]

Раскроем скобки:

\[(y-2)^2+(y+2)(y^2+2)=y^2-4y+4+y^3+2y^2+2y+4=y^3+3y^2-2y+8.\]

Кроме того, $2y^2+8=2(y^2+4)$, а $y^2+4y+4=(y+2)^2$.

Получаем:

\[\frac{y^3+3y^2-2y+8}{(y^2+2)(y-2)}:\frac{2(y^2+4)}{(y+2)^2}=\frac{(y^3+3y^2-2y+8)(y+2)^2}{2(y^2+2)(y-2)(y^2+4)}.\]

ОДЗ: $y\ne2$, $y\ne-2$.

Ответ: $\frac{(y^3+3y^2-2y+8)(y+2)^2}{2(y^2+2)(y-2)(y^2+4)}$.

3) \(\left(\frac{y-2}{y^2+2}+\frac{y+2}{y-2}\right):\frac{2y^2+8}{y^2+4y+4}\)