3. Лодка вышла из точки A и прошла 5 км на восток. Затем изменила курс и прошла ещё 3 км под углом 130° к первоначальному направлению (то есть угол между вторым отрезком пути и продолжением первого отрезка на восток составляет 130°). Определите расстояние от лодки до начальной точки A и угол между направлением от точки A до конечной точки лодки и первоначальным направлением на восток.

Обозначим восточное направление осью x. Первый отрезок равен 5 км, второй — 3 км под углом 130° к востоку. Компоненты итогового перемещения:

\(x=5+3\cos130^\circ\approx3{,}071\) км, \(y=3\sin130^\circ\approx2{,}298\) км.

Расстояние от конечной точки до A:

\(d=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5^2+3^2+2\cdot5\cdot3\cos130^\circ}\approx3{,}84\) км.

Угол между итоговым направлением и востоком: \(\alpha=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\approx36{,}8^\circ\).

Ответ: примерно 3,84 км; направление образует с востоком угол около 36,8° к северу.