3) \(\log_5(5x+3)=\log_3(7x+5)\)

Для существования логарифмов необходимо \(5x+3>0\) и \(7x+5>0\), то есть \(x>-\frac{3}{5}\).

Рассмотрим левую часть как функцию \(f(x)=\log_5(5x+3)\), а правую — как \(g(x)=\log_3(7x+5)\). На общей области определения обе функции строго возрастают.

Приравнивание аргументов здесь не является равносильным преобразованием, поскольку основания логарифмов различны. Проверим точное решение: при \(x=1\) аргументы равны 8 и 12, а исходное равенство не выполняется.

Уравнение можно решить численно. Для \(h(x)=f(x)-g(x)\) имеем \(h'(x)=\frac{5}{(5x+3)\ln5}-\frac{7}{(7x+5)\ln3}<0\) при \(x>-\frac35\), поэтому корень единственный. Численное решение даёт \(x\approx0.586\).

Ответ: единственный корень \(x\approx0.586\).