3. M, N, K — середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC. \(\overrightarrow{CK}=\vec a\), \(\overrightarrow{CN}=\vec b\). Выразите векторы \(\overrightarrow{CM}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AN}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\).

Так как K — середина AC, \(\overrightarrow{CA}=2\vec a\). Так как N — середина BC, \(\overrightarrow{CB}=2\vec b\).

Поскольку M — середина AB, радиус-вектор середины равен полусумме радиус-векторов концов:

\(\overrightarrow{CM}=\frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\vec a+\vec b\).

По правилу сложения векторов:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=2\vec b-2\vec a\).

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=-2\vec a+\vec b=\vec b-2\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{CM}=\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{AB}=2\vec b-2\vec a\), \(\overrightarrow{AN}=\vec b-2\vec a\).