4. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O. Сторона ромба равна 25 см. Найдите \(|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DO}|\), если BD = 48 см.

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AD}=\vec v\). Тогда \(\overrightarrow{CB}=-\vec v\) и \(\overrightarrow{DA}=-\vec v\), поэтому первые два слагаемых взаимно уничтожаются.

Диагонали ромба делятся пополам, значит, \(\overrightarrow{DO}=\frac12(\vec u-\vec v)\). Следовательно, выражение под модулем равно \(-\vec u+\frac12(\vec u-\vec v)=-\frac12(\vec u+\vec v)=-\frac12\overrightarrow{AC}\). Его длина равна половине диагонали AC.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой 25 см и катетом \(BO=48:2=24\) см получаем:

\(AO=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7\) см, поэтому \(AC=2AO=14\) см.

Искомая длина: \(\frac12 AC=7\) см.

Ответ: 7 см.