3. MN = 36, MP, PN — ? На рисунке треугольник KNM прямоугольный, ∠K = 90°, ∠M = 30°, KP ⟂ NM.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Поэтому

\(KN=\frac{MN}{2}=18\).

По теореме о проекциях катета на гипотенузу:

\(KN^2=MN\cdot PN\), значит \(PN=\frac{18^2}{36}=9\).

Так как \(MP=MN-PN\), получаем \(MP=36-9=27\).

Ответ: \(MP=27\), \(PN=9\).