4. На рисунке треугольник PRQ прямоугольный, ∠R = 90°, ∠P = 60°, RS ⟂ PQ, PS = 18. Найти QS.

\(\angle Q=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы, поэтому \(PR=\frac12 PQ\).

По теореме о проекциях катета: \(PR^2=PQ\cdot PS\). Подставим \(PR=\frac12 PQ\) и \(PS=18\):

\(\frac{PQ^2}{4}=18PQ\), откуда \(PQ=72\).

Тогда \(QS=PQ-PS=72-18=54\).

Ответ: \(QS=54\).