3. Монету бросают 6 раз. С какой вероятностью выпадет ровно 2 орла?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Количество испытаний \( n = 6 \).

Вероятность выпадения орла (успеха) \( p = 0.5 \).

Вероятность выпадения решки (неудачи) \( q = 1 - p = 0.5 \).

Нужно найти вероятность того, что выпадет ровно \( k = 2 \) орла.

Формула биномиальной вероятности:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

Рассчитаем число сочетаний:

\[ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 × 5}{2 × 1} = 15 \]

Теперь рассчитаем вероятность:

\[ P(X=2) = 15 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{6-2} = 15 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^4 = 15 \cdot (0.5)^6 \]

\[ (0.5)^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \]

\[ P(X=2) = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \]

В десятичной форме:

\[ \frac{15}{64} \approx 0.234375 \]

Ответ: \(\frac{15}{64}\) или приблизительно 0.234375.