5. Найдите математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X) случайной величины Х, имеющей следующее распределение вероятностей

Решение:

Дано распределение вероятностей случайной величины Х:

Математическое ожидание E(X):

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) \]

\[ E(X) = (2 × 0.032) + (4 × 0.013) + (6 × 0.265) + (8 × 0.345) + (10 × 0.341) + (12 × 0.004) \]

\[ E(X) = 0.064 + 0.052 + 1.59 + 2.76 + 3.41 + 0.048 \]

\[ E(X) = 7.924 \]

Дисперсия D(X):

Дисперсия вычисляется по формуле:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала найдем \( E(X^2) \):

\[ E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(x_i) \]

\[ E(X^2) = (2^2 × 0.032) + (4^2 × 0.013) + (6^2 × 0.265) + (8^2 × 0.345) + (10^2 × 0.341) + (12^2 × 0.004) \]

\[ E(X^2) = (4 × 0.032) + (16 × 0.013) + (36 × 0.265) + (64 × 0.345) + (100 × 0.341) + (144 × 0.004) \]

\[ E(X^2) = 0.128 + 0.208 + 9.54 + 22.08 + 34.1 + 0.576 \]

\[ E(X^2) = 66.632 \]

Теперь найдем дисперсию:

\[ D(X) = 66.632 - (7.924)^2 \]

\[ D(X) = 66.632 - 62.789776 \]

\[ D(X) = 3.842224 \]

Ответ: E(X) = 7.924, D(X) = 3.842224.