3. Мяч брошен с поверхности Земли под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Определите наибольшую высоту подъема, дальность полета, скорость в наивысшей точке траектории, скорость и координаты мяча через 2 с после начала движения.

Дано: \(v_0=20\) м/с, \(\alpha=45^\circ\), \(g=10\) м/с².

Разложим начальную скорость на составляющие:

\[v_{0x}=v_0\cos45^\circ=10\sqrt2\text{ м/с},\qquad v_{0y}=v_0\sin45^\circ=10\sqrt2\text{ м/с}.\]

Наибольшая высота:

\[H=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{(10\sqrt2)^2}{20}=10\text{ м}.\]

Время полета:

\[T=\frac{2v_{0y}}{g}=2\sqrt2\text{ с}.\]

Дальность полета:

\[L=v_{0x}T=10\sqrt2\cdot2\sqrt2=40\text{ м}.\]

В наивысшей точке вертикальная составляющая скорости равна нулю, поэтому скорость равна горизонтальной составляющей:

\[v_{\text{высш}}=v_{0x}=10\sqrt2\approx14.1\text{ м/с}.\]

Через \(t=2\) с координаты мяча:

\[x=v_{0x}t=10\sqrt2\cdot2=20\sqrt2\approx28.3\text{ м},\]

\[y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}=10\sqrt2\cdot2-\frac{10\cdot4}{2}=20\sqrt2-20\approx8.28\text{ м}.\]

Составляющие скорости через 2 с:

\[v_x=10\sqrt2\text{ м/с},\qquad v_y=10\sqrt2-10\cdot2=10\sqrt2-20\text{ м/с}.\]

Модуль скорости:

\[v=\sqrt{(10\sqrt2)^2+(10\sqrt2-20)^2}\approx14.7\text{ м/с}.\]

Ответ: наибольшая высота — 10 м; дальность полета — 40 м; скорость в наивысшей точке — \(10\sqrt2\approx14.1\) м/с; через 2 с скорость — примерно 14.7 м/с, координаты — \((28.3\text{ м};\,8.28\text{ м})\).