3. На диагонали AC прямоугольника ABCD отмечены равные отрезки AF и CG. Докажите, что BGDF — параллелограмм.

Обозначим длину диагонали AC через d, а длину отрезков AF и CG — через x. На диагонали точки расположены в порядке A, F, G, C, поэтому FG = d − 2x.

В треугольниках AFB и CGD: AB = CD, AF = CG, а углы между этими сторонами прямые, поскольку стороны прямоугольника перпендикулярны диагонали AC не обязаны быть перпендикулярны — поэтому из этих данных равенство треугольников напрямую не следует. Вместо этого используем координаты.

Пусть A = (0, 0), B = (w, 0), C = (w, h), D = (0, h). Так как F и G лежат на AC и AF = CG, для некоторого t имеем F = (tw, th), G = ((1 − t)w, (1 − t)h).

Тогда векторы BG = (−tw, (1 − t)h), а FD = (−tw, (1 − t)h), следовательно, BG ∥ FD. Кроме того, GD = (−(1 − t)w, th), а FB = ((1 − t)w, −th), поэтому GD ∥ FB.

У четырёхугольника BGDF обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, BGDF — параллелограмм.