3. На доске написаны в строку 2005 целых чисел. Докажите, что одно из них можно стереть так, чтобы сумма оставшихся стала чётной. Верно ли это утверждение для 2006 чисел?

Пусть сумма всех чисел чётная. Тогда среди них есть хотя бы одно чётное: если бы все 2005 чисел были нечётными, их сумма была бы нечётной. Стираем чётное число — сумма оставшихся чисел остаётся чётной.

Если общая сумма нечётная, среди чисел есть хотя бы одно нечётное, поскольку сумма одних чётных чисел была бы чётной. Стираем нечётное число — оставшаяся сумма становится чётной.

Для 2006 чисел утверждение неверно. Контрпример: 2006 нечётных чисел. Их сумма чётная, но после стирания любого одного числа останется сумма 2005 нечётных чисел, то есть нечётное число.

Ответ: для 2005 чисел утверждение верно, для 2006 — неверно.