3. На какой высоте относительно поверхности земли встретятся два мяча, если один брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с, а другой падает с высоты 10 м без начальной скорости? Мячи начинают движение одновременно. Какую скорость относительно земли будут иметь мячи на этой высоте? Сопротивлением воздуха пренебречь. Постройте графики зависимости координаты каждого мяча от времени и определите по графику время и координату места их встречи.

Примем ось координат вертикально вверх, начало — на земле. Положения мячей:

Первый мяч: \(y_1=10t-\frac{gt^2}{2}\). Второй мяч: \(y_2=10-\frac{gt^2}{2}\).

В момент встречи \(y_1=y_2\), поэтому \(10t=10\), откуда \(t=1\) с. Координата встречи: \(y=10-\frac{9.8}{2}=5.1\) м над землёй.

Скорости в этот момент: для первого мяча \(v_1=10-9.8\cdot1=0.2\) м/с вверх; для второго \(v_2=-9.8\cdot1=-9.8\) м/с, то есть 9.8 м/с вниз.

Графики координат задаются функциями \(y_1(t)=10t-4.9t^2\) и \(y_2(t)=10-4.9t^2\); их пересечение соответствует точке \((1;5.1)\).

Ответ: мячи встретятся через 1 с на высоте 5.1 м; скорости — 0.2 м/с вверх и 9.8 м/с вниз.