3) На каждом километре между сёлами Игнатьево и Берёзово стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Игнатьево, на другой — расстояние до Берёзово. Гуляя по этой дороге, Коля для каждой таблички подсчитал наибольший общий делитель записанных на ней чисел. Оказалось, что среди полученных им чисел встретились только 1, 3 или 5 (каждое хотя бы один раз). Найдите расстояние между сёлами.

Пусть расстояние между сёлами равно \(D\) км. На столбе, расположенном в \(k\) км от Игнатьево, на табличке указаны числа \(k\) и \(D-k\). Их наибольший общий делитель равен \(\text{НОД}(k,D-k)=\text{НОД}(k,D)\).

Так как среди НОД встречаются 3 и 5, число \(D\) делится и на 3, и на 5. Следовательно, оно делится на 15.

Если бы \(D>15\), столб на расстоянии 15 км от Игнатьево находился бы между сёлами. Для него НОД был бы \(\text{НОД}(15,D)\), то есть не меньше 15. Это противоречит условию: встречались только 1, 3 или 5.

Значит, \(D=15\). Проверка: при \(D=15\) возможные НОД для столбов между сёлами — 1, 3 и 5; каждое значение встречается.

Ответ: 15 км.