3. На окружности отмечены точки А и В так, что угол АОВ равен 140°. Прямая ВС касается окружности в точке В так, что угол АВС острый. Найдите угол АВС.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии.

Что нам известно:

• На окружности есть точки A и B.
• Центр окружности — O.
• Угол AOB (центральный угол) = 140°.
• Прямая BC — касательная к окружности в точке B.
• Угол ABC — острый.

Что нужно найти:

• Угол ABC.

Логика решения:

1. Связь центрального и вписанного углов: Угол AOB — это центральный угол, который опирается на дугу AB. Величина дуги AB равна величине центрального угла, то есть дуга AB = 140°.
2. Связь центрального и вписанного углов (другой вариант): Угол ACB — это вписанный угол, который тоже опирается на дугу AB. Его величина равна половине величины дуги:

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \times 140° = 70° \]

(Хотя этот угол нам, возможно, и не понадобится для прямого решения.)

\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 140°}{2} = \frac{40°}{2} = 20° \]

\[ \angle OBC = \angle OBA + \angle ABC \]

\[ 90° = 20° + \angle ABC \]

Теперь найдем ABC:

\[ \angle ABC = 90° - 20° \]

\[ \angle ABC = 70° \]

Проверим условие: угол ABC = 70°, что является острым углом. Все сходится!

Ответ: 70°