3. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK, точка M лежит между точками A и K. Докажите, что AM = CK.

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то его углы при основании равны:

\[\angle BAC = \angle BCA.\]

Поскольку точки \(M\) и \(K\) лежат на отрезке \(AC\), имеем:

\[\angle BAM = \angle BCK.\]

По условию:

\[\angle ABM = \angle CBK.\]

Следовательно, треугольники \(ABM\) и \(CBK\) подобны по двум углам.

В этих треугольниках соответствующие стороны \(AB\) и \(CB\) равны, так как \(ABC\) — равнобедренный:

\[AB = CB.\]

Значит, коэффициент подобия равен 1, поэтому треугольники \(ABM\) и \(CBK\) равны. Следовательно, их соответствующие стороны равны:

\[AM = CK.\]

Ответ: \(AM = CK\).