3°. На продолжении диагонали AC прямоугольника ABCD отложены равные отрезки AM и CN. Докажите: а) что треугольники MAD и NCB равны; б) что четырёхугольник MBND — параллелограмм.

Пусть точки расположены на прямой в порядке M–A–C–N, как следует из условия о равных отрезках на продолжениях диагонали.

а) В прямоугольнике AD = CB. По условию AM = CN. Так как AD ∥ CB, а прямые AM и CN лежат на одной прямой, углы между сторонами этих пар равны: ∠MAD = ∠NCB. Следовательно, △MAD = △NCB по двум сторонам и углу между ними.

б) Обозначим через O точку пересечения диагоналей AC и BD прямоугольника. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, значит, AO = OC и BO = OD. Поскольку AM = CN, отрезки MO = AM + AO и ON = OC + CN равны. Таким образом, диагонали четырёхугольника MBND — MN и BD — пересекаются в O и делятся им пополам. Значит, MBND — параллелограмм.