3. На рис. 123 ABCD - трапеция, точка О - центр вписанной окружности, ∠A = ∠D, AM = 9 см, CN = 4 см. Найдите периметр трапеции.

Краткое пояснение:

Трапеция ABCD является равнобедренной, так как \( \angle A = \angle D \) и в неё вписана окружность. AM и CN — отрезки касательных, проведенных из вершин. Так как трапеция равнобедренная, то \( AM = BN \) и \( CM = DN \). Вписанная окружность имеет свойство: сумма противоположных сторон равна. Точка O — центр, значит, радиус перпендикулярен касательным.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Так как в трапецию вписана окружность и \( \angle A = \angle D \), трапеция равнобедренная.
2. Шаг 2: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, \( AM = BN = 9 \) см, и \( CM = DN = 4 \) см.
3. Шаг 3: Стороны трапеции равны: \( AB = AM + MB \) (неизвестно, где M - точка касания на AB) и \( CD = CN + ND \). Отрезки \( AM=9 \) и \( CN=4 \) не являются длинами сторон. По условию \( AM=9 \) и \( CN=4 \) — это отрезки касательных от вершин \( A \) и \( C \) до точек касания. Так как трапеция равнобедренная, то \( AM=9 \) и \( DM=9 \) (если M - точка касания на AD). Аналогично \( CN=4 \) и \( BN=4 \).
4. Шаг 4: В равнобедренной трапеции ABCD с вписанной окружностью, \( AB = CD \). Точка касания на стороне AD делит её на отрезки 9 и 4. Так как трапеция равнобедренная, то AD = 9 + 4 = 13.
5. Шаг 5: Отрезки касательных от вершины A до окружности равны, то есть \( AM = 9 \). Отрезки касательных от вершины C до окружности равны, то есть \( CN = 4 \).
6. Шаг 6: Для равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, \( AB = CD \) и \( AD = BC \).
7. Шаг 7: Важно: \( AM=9 \) и \( CN=4 \) — это отрезки от вершин до точек касания. В равнобедренной трапеции \( AM \) и \( DN \) относятся к одной боковой стороне, а \( BM \) и \( CN \) — к другой. Так как трапеция равнобедренная, \( AD = BC \).
8. Шаг 8: В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, если \( AM=9 \) и \( DN=4 \) — отрезки от вершин оснований до точек касания на основании, то основания равны \( AD = AM + MD = 9 + x \) и \( BC = BN + NC = y + 4 \).
9. Шаг 9: Из условия \( \angle A = \angle D \) следует, что трапеция равнобедренная. В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, отрезки касательных от вершин к окружности равны: \( AM = 9 \) и \( DN = 4 \). Стороны боковые \( AB = CD \). \( AM = 9 \) и \( BM = 4 \). Тогда \( AB = 9 + 4 = 13 \).
10. Шаг 10: Так как трапеция равнобедренная, \( AB = CD = 13 \) см.
11. Шаг 11: Основания трапеции: \( AD = AM + MD \) и \( BC = BN + NC \). Если \( AM = 9 \) и \( CN = 4 \) — это отрезки от вершин до точек касания на боковых сторонах, то \( AD \) и \( BC \) — основания.
12. Шаг 12: В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, \( AM = 9 \) и \( BN = 9 \), \( CM = 4 \) и \( DN = 4 \). Тогда боковые стороны \( AB = AM + MB \) и \( CD = CN + ND \).
13. Шаг 13: Правильное толкование: \( AM=9 \) и \( CN=4 \) — это отрезки от вершин \( A \) и \( C \) до точек касания. В равнобедренной трапеции \( AM = 9 \), \( DN = 9 \). \( CM = 4 \), \( BN = 4 \). Тогда боковая сторона \( AB = AM + MB \) и \( CD = CN + ND \).
14. Шаг 14: В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, \( AM = 9 \) и \( BN = 4 \). Так как трапеция равнобедренная, \( AM = DN = 9 \) и \( BN = CM = 4 \). Тогда боковые стороны \( AB = AM + MB \) и \( CD = CN + ND \).
15. Шаг 15: В равнобедренной трапеции ABCD с вписанной окружностью, \( AM = 9 \) и \( CN = 4 \) — это отрезки от вершин до точек касания. Тогда \( AD \) и \( BC \) — основания. \( AM = 9 \), \( BN = 9 \), \( CM = 4 \), \( DN = 4 \). Боковые стороны \( AB = 9+4 = 13 \) и \( CD = 4+9 = 13 \).
16. Шаг 16: Периметр трапеции \( P = AB + BC + CD + AD \).
17. Шаг 17: Для трапеции с вписанной окружностью выполняется свойство: сумма противоположных сторон равна. \( AB + CD = AD + BC \).
18. Шаг 18: В равнобедренной трапеции \( AB = CD = 13 \) см.
19. Шаг 19: Основания \( AD = AM + MD \) и \( BC = BN + NC \). \( AM=9 \) и \( CN=4 \). Если \( AM=9 \) и \( DN=9 \) (отрезки от вершин A и D), то \( AD = 9+9 = 18 \). Если \( CN=4 \) и \( BN=4 \) (отрезки от вершин C и B), то \( BC = 4+4 = 8 \).
20. Шаг 20: Периметр \( P = AB + BC + CD + AD = 13 + 8 + 13 + 18 = 52 \) см.

Ответ: 52 см