4. На рис. 124 точка О - центр вписанной окружности, AB = BC = 39 см, AC = 30 см, OD ⊥ AC. Найдите радиус вписанной окружности.

Краткое пояснение:

Треугольник ABC равнобедренный, так как \( AB = BC \). OD — радиус, проведенный к стороне AC, поэтому OD ⊥ AC. OD является высотой, медианой и биссектрисой для основания AC. Для нахождения радиуса используем формулу площади треугольника: \( S = p · r \), где \( p \) — полупериметр, \( r \) — радиус вписанной окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Так как \( AB = BC = 39 \) см, \( AC = 30 \) см, треугольник ABC равнобедренный.
2. Шаг 2: OD — радиус, проведенный к стороне AC, и \( OD ⊥ AC \). В равнобедренном треугольнике радиус, проведенный к основанию, является также медианой. Следовательно, \( D \) — середина AC. \( AD = DC = AC / 2 = 30 / 2 = 15 \) см.
3. Шаг 3: Найдем площадь треугольника ABC. OD — высота. В прямоугольном треугольнике ADB: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 \). \( 39^2 = 15^2 + BD^2 \). \( 1521 = 225 + BD^2 \). \( BD^2 = 1521 - 225 = 1296 \). \( BD = √1296 = 36 \) см.
4. Шаг 4: Площадь треугольника ABC: \( S = ½ · AC · BD = ½ · 30 · 36 = 15 · 36 = 540 \) см².
5. Шаг 5: Полупериметр треугольника ABC: \( p = (AB + BC + AC) / 2 = (39 + 39 + 30) / 2 = 108 / 2 = 54 \) см.
6. Шаг 6: Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле \( S = p · r \). \( 540 = 54 · r \). \( r = 540 / 54 = 10 \) см.

Ответ: 10 см