3. На рис. 28 ABCD — прямоугольник, ∠ABM = ∠DCM. Найдите периметр прямоугольника, если BC = 24 см.

Обозначим \(AM=a\), \(MD=b\), а высоту прямоугольника \(AB=CD=h\).

1. Так как \(BC=AD=24\) см, получаем \(a+b=24\).
2. Из равенства углов \(\angle ABM=\angle DCM\) следует равенство соответствующих горизонтальных отрезков: \(AM=MD\), то есть \(a=b\).
3. Следовательно, \(a=b=24:2=12\) см.
4. По условию \(BM\perp CM\). Введём координаты: \(M(0,0)\), \(B(-12,h)\), \(C(12,h)\). Тогда векторы \(\overrightarrow{MB}=(-12,h)\) и \(\overrightarrow{MC}=(12,h)\) перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:
   \((-12)\cdot12+h^2=0\).
5. Отсюда \(h^2=144\), значит \(h=12\) см.
6. Периметр прямоугольника:
   \(P=2(BC+AB)=2(24+12)=72\) см.

Ответ: 72 см.