3. На рис. 28 ABCD — прямоугольник, M ∈ AD, BM ⟂ CM, ∠ABM = ∠DCM. Найдите периметр прямоугольника, если BC = 24 см.

Обозначим AB = h, AM = x. Тогда MD = 24 − x, поскольку AD = BC = 24 см.

Из равенства углов в прямоугольных треугольниках ABM и DCM получаем:

\(\tan\angle ABM=\frac{x}{h}\), \(\tan\angle DCM=\frac{24-x}{h}\). Поэтому \(x=24-x\), откуда \(x=12\).

Возьмём векторы \(\overrightarrow{MB}=(-12,h)\) и \(\overrightarrow{MC}=(12,h)\). Так как BM ⟂ CM, их скалярное произведение равно нулю:

\((-12)\cdot12+h^2=0\), значит \(h^2=144\) и \(h=12\) см.

Периметр прямоугольника:

\(P=2(AB+BC)=2(12+24)=72\) см.

Ответ: 72 см.