5. На рис. 30 ABCD — квадрат, ∠ADE = ∠ABE = ∠CBF = ∠CDF. Докажите, что BFDE — ромб.

Пусть сторона квадрата равна \(s\), а общая величина указанных углов — \(\theta\). Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(0,s)\), \(C(s,s)\), \(D(s,0)\). По рисунку E и F лежат на диагонали AC, поэтому обозначим \(E(t,t)\), \(F(u,u)\).

Из прямоугольного треугольника с вершиной B и угла \(\angle ABE=\theta\): \(\tan\theta=\frac{t}{s-t}\).

Из прямоугольного треугольника с вершиной B и угла \(\angle CBF=\theta\): \(\tan\theta=\frac{s-u}{u}\).

Приравнивая выражения и преобразуя, получаем:

\(\frac{t}{s-t}=\frac{s-u}{u}\), откуда \(tu=(s-t)(s-u)\), а значит \(t+u=s\).

Теперь сравним квадраты длин сторон:

\(BE^2=t^2+(s-t)^2\), \(DE^2=(s-t)^2+t^2\), поэтому BE = DE.

Кроме того, \(BF^2=u^2+(s-u)^2\), \(DF^2=(s-u)^2+u^2\), поэтому BF = DF.

Так как \(u=s-t\) и \(s-u=t\), имеем \(BF^2=(s-t)^2+t^2=BE^2\), то есть BF = BE. Следовательно, BF = FD = DE = EB. Четырёхугольник BFDE — ромб.

Что и требовалось доказать.