3. На рис. ABCD — прямоугольник, BM = CN. Докажите, что треугольник AKD — равнобедренный.

Рассмотрим отражение относительно перпендикуляра к AD, проходящего через середину AD. У прямоугольника при таком отражении A переходит в D, а B — в C.

Поскольку BM = CN, точки M и N симметричны относительно этой оси. Поэтому прямая AN переходит в прямую DM. Их точка пересечения K при отражении остаётся на месте, то есть лежит на оси симметрии.

Значит, K равноудалена от A и D: KA = KD. Следовательно, треугольник AKD равнобедренный.

Что и требовалось доказать.