3. На рисунке 11.5 изображён равносторонний треугольник ABC, точка D — середина стороны BC. Прямая AM перпендикулярна плоскости ABC. Докажите, что MD ⟂ BC.

Так как треугольник ABC равносторонний, его медиана AD, проведённая к стороне BC, является также высотой. Поэтому \(AD\perp BC\).

Прямая AM перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, \(AM\perp BC\), поскольку BC лежит в этой плоскости.

Прямые AD и AM пересекаются в точке A и лежат в плоскости AMD. Поскольку BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и AM этой плоскости, \(BC\perp\) плоскости AMD. Тогда BC перпендикулярна любой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения с ней; в частности, \(BC\perp MD\).

Что и требовалось доказать.