3. На рисунке 267 DP = PE, DK = = KE. Докажите равенство углов KDM и KEM.

Задание 3: Равенство углов

Условие: На рисунке 267 \( DP = PE \), \( DK = KE \). Доказать равенство углов \( \angle KDM \) и \( \angle KEM \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle DPK \) и \( \triangle EPK \).
2. По условию \( DP = PE \).
3. Сторона \( PK \) является общей для обоих треугольников.
4. По условию \( DK = KE \).
5. Следовательно, \( \triangle DPK = \triangle EPK \) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: \( \angle DKP = \angle EKP \).
7. Теперь рассмотрим \( \triangle KDM \) и \( \triangle KEM \).
8. Мы уже доказали, что \( \angle DKP = \angle EKP \). Поскольку \( \angle KDM \) и \( \angle KEM \) являются частями этих углов (на рисунке это не очевидно, но подразумевается, что точки M, D, K и M, E, K лежат на одной плоскости и формируют углы KDM и KEM, соответствующие равным углам DKP и EKP), то \( \angle KDM = \angle KEM \).
9. Альтернативное объяснение, если M лежит на отрезке DK и EK:
10. Рассмотрим \( \triangle KDM \) и \( \triangle KEM \).
11. По условию \( DK = KE \).
12. Сторона \( KM \) является общей для обоих треугольников.
13. Из доказанного ранее следует, что \( \angle DKM = \angle EKM \) (так как \( \angle DKP = \angle EKP \) и \( M \) лежит на \( KP \)).
14. Следовательно, \( \triangle KDM = \triangle KEM \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

15. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: \( \angle KDM = \angle KEM \).

Вывод: Углы KDM и KEM равны.