5. Серединный перпендикуляр стороны AB треугольника ABC пересекает его сторону AC в точке D. Найдите периметр треугольника BDC, если AC = 8 см, BC = 6 см.

Задание 5: Периметр треугольника BDC

Дано:

• \( \triangle ABC \).
• \( D \) — точка на \( AC \).
• \( CD \) — серединный перпендикуляр к стороне \( AB \).
• \( AC = 8 \) см.
• \( BC = 6 \) см.

Найти: Периметр \( \triangle BDC \).

Решение:

1. Пусть \( M \) — точка пересечения серединного перпендикуляра \( CD \) со стороной \( AB \).
2. По определению серединного перпендикуляра, \( CM \) перпендикулярен \( AB \) (\( \angle CMB = 90^\circ \)) и \( M \) — середина \( AB \) (\( AM = MB \)).
3. Рассмотрим \( \triangle ADC \) и \( \triangle BDC \).
4. Мы знаем, что \( D \) лежит на \( AC \).
5. По свойству серединного перпендикуляра, любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен.
6. Следовательно, точка \( D \) равноудалена от \( A \) и \( B \).
7. Значит, \( DA = DB \).
8. Теперь рассмотрим \( \triangle BDC \). Его стороны: \( BD \), \( DC \), \( BC \).
9. Периметр \( \triangle BDC = BD + DC + BC \).
10. Мы знаем, что \( AC = AD + DC \).
11. Так как \( AD = DB \), то \( AC = DB + DC \).
12. Подставим значения: \( 8 = DB + DC \).
13. Теперь подставим это в формулу периметра \( \triangle BDC \):
14. Периметр \( \triangle BDC = (DB + DC) + BC \).
15. Периметр \( \triangle BDC = AC + BC \).
16. Подставим данные значения: Периметр \( \triangle BDC = 8 \) см + \( 6 \) см = \( 14 \) см.

Ответ: Периметр треугольника BDC равен 14 см.