3. На рисунке ∠AOD = ∠COE, ∠DOC = ∠BOE. Доказать, что OC ⟂ AB.

По рисунку лучи \(OA\), \(OD\), \(OC\), \(OE\), \(OB\) последовательно делят развернутый угол \(AOB\). Обозначим \(\angle AOD=\angle COE=x\), а \(\angle DOC=\angle BOE=y\).

Так как \(\angle AOB\) — развернутый, сумма углов, на которые он разделён, равна \(180^\circ\):

\(x+y+x+y=180^\circ\), значит, \(2(x+y)=180^\circ\) и \(x+y=90^\circ\).

Угол \(COB=\angle COE+\angle EOB=x+y=90^\circ\). Следовательно, прямые \(OC\) и \(AB\) перпендикулярны.

Доказано: OC ⟂ AB.