3. На рисунке BM ⟂ AD, CK ⟂ AD, BM = CK, AM = KD. Докажите, что ΔABD = ΔADC.

Так как BM ⟂ AD и CK ⟂ AD, треугольники ABM и DCK прямоугольные. По условию AM = KD и BM = CK, поэтому эти треугольники равны по двум катетам.

Отсюда AB = DC и AM = KD. Поскольку точки A, M, K, D лежат на одной прямой, \(AD=AM+MK+KD\), а \(AK=AM+MK\) и \(MD=MK+KD\). Из AM = KD следует AK = MD.

Треугольники ABK и DCM прямоугольные: BM и CK перпендикулярны прямой AD. Для равенства сторон диагоналей используем координатное представление вдоль AD: пусть A имеет координату 0, D — длину d, а M — координату m. Тогда из AM = KD следует, что K имеет координату d−m. Высоты B и C над AD равны, поскольку BM = CK. Поэтому горизонтальные расстояния от B до D и от C до A равны d−m, а высоты равны; значит, BD = AC.

Теперь в треугольниках ABD и ADC: AB = DC, BD = AC, а AD — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам, с соответствием A↔A, B↔D, D↔C.

Что и требовалось доказать.