3. На рисунке параллелограмм ABCD, точка E лежит на стороне BC, CD = 5, AE — биссектриса угла DAB, DE — биссектриса угла CDA. Найти P_{ABCD} и ∠AED.

Поскольку ABCD — параллелограмм, \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\).

Из того, что AE — биссектриса угла DAB, и параллельности AB и CD следует равенство углов BAE и AED. Кроме того, из параллельности BC и AD получаем равенство углов AEB и EAD. В частности, треугольник ABE равнобедренный, поэтому \(AB=BE\).

Аналогично, DE — биссектриса угла CDA. С учётом параллельности AB и CD, а также BC и AD, треугольник CDE равнобедренный, поэтому \(CD=CE\).

Дано \(CD=5\), значит, \(AB=5\) и \(CE=5\). Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, \(AD=BC=BE+CE=5+5=10\).

Тогда \(P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(5+10)=30\).

Биссектрисы соседних углов параллелограмма образуют между собой прямой угол: \(\angle DAB+\angle CDA=180^\circ\), поэтому угол между их биссектрисами равен половине этой суммы, то есть \(\angle AED=90^\circ\).

Ответ: \(P_{ABCD}=30\), \(\angle AED=90^\circ\).