№3. На рисунке прямая АС касается окружности с центром О в точке А. Найдите угол ВАС, если угол АОВ равна 108°.

Решение:

Прямая АС касается окружности в точке А, значит, радиус ОА перпендикулярен касательной АС. Следовательно, \( \angle OAC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \). ОА и ОВ — радиусы окружности, значит \( OA = OB \). Следовательно, \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов в \( \triangle AOB \) равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 108^{\circ} + 2 \angle OAB = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OAB = 180^{\circ} - 108^{\circ} \)

\( 2 \angle OAB = 72^{\circ} \)

\( \angle OAB = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ} \)

Теперь найдем угол ВАС. Мы знаем, что \( \angle OAC = 90^{\circ} \) и \( \angle OAB = 36^{\circ} \).

\( \angle BAC = \angle OAC - \angle OAB \)

\( \angle BAC = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} \)

Ответ: 54°.