3. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигать- ся только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И, проходящих через город Ж?

Решение:

Для решения этой задачи будем считать количество путей из города А до каждого следующего города, двигаясь только в направлении стрелок. Нам нужно найти количество путей из города А в город И, проходящих через город Ж.

Шаг 1: Подсчёт путей из А до Ж.

Обозначим количество путей из города А в город X как \( N(X) \).

\( N(A) = 1 \) (начинаем с города А).

\( N(Б) = N(A) = 1 \)

\( N(Г) = N(A) = 1 \)

\( N(В) = N(Б) + N(Г) = 1 + 1 = 2 \)

\( N(Д) = N(Г) = 1 \)

\( N(Е) = N(Б) = 1 \)

\( N(Ж) = N(В) + N(Д) + N(Е) = 2 + 1 + 1 = 4 \)

Итак, существует 4 пути из города А в город Ж.

Шаг 2: Подсчёт путей из Ж до И.

Теперь будем считать количество путей из города Ж в город И. Так как нам нужно, чтобы путь проходил через Ж, мы уже знаем, что до Ж есть 4 пути. Теперь нам нужно подсчитать, сколько путей из Ж ведёт в И.

\( N(Ж \to И) \)

Пути из Ж:

Из Ж можно попасть в И напрямую, а также через З.

\( N(И \text{ из Ж}) = N(Ж \to И) + N(Ж \to З \to И) \)

\( N(Ж \to И) = 1 \)

\( N(Ж \to З) = N(Ж) = 1 \) (считаем пути, начинающиеся из Ж, чтобы попасть в З)

\( N(З \to И) = N(З) = 1 \) (считаем пути, начинающиеся из З, чтобы попасть в И)

\( N(Ж \to З \to И) = N(Ж \to З) \times N(З \to И) = 1 \times 1 = 1 \)

Таким образом, количество путей из Ж в И равно:

\[ N(Ж \to И \text{ всего}) = 1 + 1 = 2 \]

Шаг 3: Подсчёт общего количества путей из А в И через Ж.

Чтобы найти общее количество путей из города А в город И, проходящих через город Ж, нужно умножить количество путей из А в Ж на количество путей из Ж в И.

\[ \text{Общее количество путей} = N(A \to Ж) \times N(Ж \to И) \]

\[ \text{Общее количество путей} = 4 \times 2 = 8 \]

Ответ: 8