3. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки M и P так, что AM : MB = CP : PA = 2 : 1. Отрезки BF и MC пересекаются в точке K. Найдите отношение BK : KP.

В условии, вероятно, опечатка: точка F не определена, а точка P задана; ниже считаем, что имеется в виду отрезок BP. Если BF указано верно, для решения не хватает определения точки F.

Пусть A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1). Тогда из AM : MB = 2 : 1 получаем M = (2/3, 0), а из CP : PA = 2 : 1 — P = (0, 1/3).

Точка на BP имеет вид (1 − t, t/3), где t = BK / BP. Точка на MC имеет вид (2s/3, 1 − s). В точке пересечения координаты равны, поэтому t/3 = 1 − s и 1 − t = 2s/3. Решение даёт t = 3/7.

Следовательно, BK : KP = t : (1 − t) = 3/7 : 4/7 = 3 : 4.

Ответ: если в условии имеется в виду BP, то BK : KP = 3 : 4. Для буквального варианта BF нужно уточнить, что такое F.