3. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки M и P так, что AM : MB = CP : PA = 2 : 1. Отрезки BT и MC пересекаются в точке K. Найдите отношение BK : KP.

В условии точка T не определена, поэтому буквально отношение BK : KP найти нельзя: точка P не обязана лежать на отрезке BT. Если в обозначении BT имеется в виду BP, получаем следующий результат.

Пусть BP пересекает MC в точке K. Тогда AM : MB = 2 : 1 даёт AM / AB = 2 / 3, а CP : PA = 2 : 1 даёт AP / AC = 1 / 3.

Введём векторы с началом в A: пусть B = b, C = c. Тогда M = 2b / 3, P = c / 3.

Точка на BP имеет вид B + t(P − B), а точка на MC — M + s(C − M). Приравнивая коэффициенты при b и c, получаем: 1 − t = 2 / 3 − 2s / 3 и t / 3 = s. Отсюда s = 1 / 7 и t = 3 / 7.

Поскольку t = BK / BP, имеем BK : KP = t : (1 − t) = 3 : 4.

Ответ: если BT — опечатка вместо BP, то BK : KP = 3 : 4. Для решения исходной формулировки нужно уточнить, что означает T.