#3 На сторонах PK и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно, MP = PB = AK; ∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.

Пусть \(MP=PB=AK=a\). Так как A лежит на PK, а B — на MH, из условия \(PB=MP\) и \(\angle MPB=60^\circ\) следует, что треугольник MPB равносторонний. Поэтому \(BM=MP=a\).

В параллелограмме \(PK\parallel MH\), поэтому угол между сторонами MP и MH равен \(60^\circ\). Следовательно:

\[\angle M=\angle K=60^\circ,\]

\[\angle P=\angle H=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\]

Поскольку \(AK=MP=a\), отрезки MP и AK равны и образуют угол \(60^\circ\). Тогда в треугольнике AHM:

\[AH^2=AM^2+MH^2-2\cdot AM\cdot MH\cos60^\circ=a^2,\]

то есть \(AH=a\).

Мы получили:

\[BM=AH=a.\]

Ответ: \(\angle M=\angle K=60^\circ\), \(\angle P=\angle H=120^\circ\); \(BM=AH\).