3. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. [Начало условия обрезано.] а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

а) Так как M лежит на BC, луч BM направлен вдоль BC, а BC ∥ AD. Поэтому угол ABM равен 180° − ∠BAD. В треугольнике ABM стороны AB и BM равны, значит, он равнобедренный и углы при основании равны: ∠BAM = ∠AMB.

Сумма углов треугольника ABM равна 180°, поэтому каждый угол при основании равен (180° − ∠ABM) : 2 = ∠BAD : 2. Значит, ∠BAM = ∠MAD, то есть AM — биссектриса угла BAD.

б) В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD = 8 см. По условию BM = AB = 8 см. Тогда BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см.

Периметр равен 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: 40 см.