3. На стороне \(BC\) ромба \(ABCD\) лежит точка \(K\) так, что \(BK=KC\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{KD}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

В параллелограмме, которым является ромб, \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\). Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\).

Так как \(K\) — середина \(BC\), а \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), то \(\overrightarrow{BK}=\frac12\vec b\). Следовательно, \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\vec a+\frac12\vec b\).

Наконец, \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AK}+\vec b=\frac12\vec b-\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{KD}=\frac12\vec b-\vec a\).