3. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD; O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы a = AB, b = AD.

Положим начало координат в точку A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

Так как O — середина диагонали AC, то \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\). Следовательно,

\[\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=\frac12(\vec b-\vec a).\]

Точка P — середина CD. Поскольку \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), получаем \(\overrightarrow{AP}=\frac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac12\vec a+\vec b\).

Тогда

\[\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=\vec b-\frac12\vec a,\qquad \overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{AP}=-\frac12\vec a-\vec b.\]

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec b-\vec a)\), \(\overrightarrow{BP}=\vec b-\frac12\vec a\), \(\overrightarrow{PA}=-\frac12\vec a-\vec b\).