3. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ такая, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{BP}$, $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\vec x=\overrightarrow{BA}$ и $\vec y=\overrightarrow{BC}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ такая, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите…$ Фото задания

3. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ такая, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{BP}$, $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\vec x=\overrightarrow{BA}$ и $\vec y=\overrightarrow{BC}$.

Accepted Answer

Пусть $B$ — начало отсчёта. Тогда $A$ задаётся вектором $\vec x$, $C$ — вектором $\vec y$, а $D$ — вектором $\vec x+\vec y$.

Диагонали квадрата делятся пополам, поэтому $\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)$.

Так как $P$ — середина $CD$, её радиус-вектор равен $\vec y+\frac12\vec x$. Значит, $\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y$.

Наконец, $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\frac12\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\vec y$.

Ответ: $\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)$, $\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y$, $\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y$.