3. На стороне FO прямоугольника CFOR отметили её середину — точку A. Оказалось, что AC ⟂ AR. Меньшая сторона прямоугольника равна 32 см. Найдите его периметр.

Обозначим стороны прямоугольника: FO = CR = w и CF = OR = h. Точка A — середина FO, поэтому, если задать координаты C(0, 0), F(0, h), O(w, h), R(w, 0), то A имеет координаты (w/2, h).

Условие AC ⟂ AR означает, что скалярное произведение векторов AC и AR равно нулю:

\((w/2, h) \cdot (w/2, -h) = w^2/4 - h^2 = 0\), откуда \(w = 2h\).

Значит, меньшая сторона равна h = 32 см, а большая сторона w = 64 см. Периметр равен \(2(32 + 64) = 192\) см.

Ответ: 192 см.