3. Нарисуйте три разных графа, в каждом из которых 5 вершин. Найдите сум- степеней всех вершин каждого из этих графов.

Решение:

Согласно теореме о сумме степеней, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его ребер. Важно, что для любого графа с 5 вершинами сумма степеней будет одинаковой, если число ребер будет одинаковым. Однако, нам нужно нарисовать ТРИ РАЗНЫХ графа. Это означает, что графы должны отличаться друг от друга структурой (наличием ребер).

Граф 1: Полный граф K₅

В этом графе каждая вершина соединена с каждой другой вершиной.

(Здесь предполагается, что на месте ответа должен быть нарисован граф. Так как я не могу рисовать, я опишу структуру и дам расчет.)

Описание графа: 5 вершин, каждая соединена с 4 другими. Всего ребер: \( \frac{5 × 4}{2} = 10 \).

Сумма степеней: Каждый из 5 вершин имеет степень 4. Сумма степеней = \( 5 × 4 = 20 \).

Граф 2: Граф-цикл C₅

В этом графе вершины соединены последовательно, образуя цикл.

Описание графа: 5 вершин, каждая соединена с 2 другими. Всего ребер: \( \frac{5 × 2}{2} = 5 \).

Сумма степеней: Каждый из 5 вершин имеет степень 2. Сумма степеней = \( 5 × 2 = 10 \).

Граф 3: Звезда (центральная вершина соединена со всеми остальными)

Описание графа: 5 вершин. Одна центральная вершина соединена с 4 другими. Остальные 4 вершины имеют степень 1 (кроме центральной).

Сумма степеней: Центральная вершина имеет степень 4. 4 боковые вершины имеют степень 1. Сумма степеней = \( 4 + 4 × 1 = 8 \).

(Примечание: Для более точного выполнения задания, если бы была возможность рисовать, следовало бы нарисовать эти графы, например, с помощью SVG. В реальной тетради нужно нарисовать эти три графа.)

Ответ: Сумма степеней вершин для полного графа K₅ равна 20. Сумма степеней вершин для графа-цикла C₅ равна 10. Сумма степеней вершин для графа "звезда" равна 8.