3. Найдите ∠ABC, если ∠BAC = 30°, а ∠BMC = 45°. В треугольнике ABC проведена медиана BM.

Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM=MC. Точки A, M и C лежат на одной прямой, значит \(\angle AMB=180°-45°=135°\).

В треугольнике ABM: \(\angle ABM=180°-135°-30°=15°\). По теореме синусов:

\[\frac{BM}{AM}=\frac{\sin30°}{\sin15°}.\]

В треугольнике BMC обозначим \(\angle MBC=\beta\). Тогда \(\angle BCM=135°-\beta\). Поскольку AM=MC, по теореме синусов:

\[\frac{BM}{MC}=\frac{\sin(135°-\beta)}{\sin\beta}=\frac{\sin30°}{\sin15°}.\]

При \(\beta=30°\) равенство выполняется: \(\frac{\sin105°}{\sin30°}=\frac{\sin75°}{\sin30°}=\frac{\sin30°}{\sin15°}\). Следовательно, \(\angle MBC=30°\).

Искомый угол состоит из углов ABM и MBC: \(\angle ABC=15°+30°=45°\).

Ответ: ∠ABC = 45°.