3. Найдите BC. На рисунке AD=30, ∠ABC=135°, ∠BCD=90°, ∠BDC=45°; проведена диагональ BD.

В треугольнике BCD сумма углов равна 180°, поэтому ∠CBD=180°−90°−45°=45°. Значит, треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный, и BC=CD.

Угол ABC состоит из углов ABD и DBC, поэтому ∠ABD=135°−45°=90°. Так как AD параллелен BC, а ∠BCD=90°, то AD перпендикулярна CD. При ∠BDC=45° угол между AD и DB также равен 45°, то есть ∠ADB=45°.

Треугольник ABD — прямоугольный равнобедренный с гипотенузой AD=30. Поэтому BD=30/√2=15√2. В треугольнике BCD катет BC равен BD/√2=15.

Ответ: BC=15.