3. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его высота равна 8, а угол при основании равен 30°.

Решение:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам и делит угол при вершине пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. В этом треугольнике высота равна \( 8 \) (прилежащий катет к углу \( 30^\circ \)), а угол при основании равен \( 30^\circ \). Боковая сторона является гипотенузой.

Используем тригонометрическую функцию косинуса:

\[ \cos(30^\circ) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{8}{\text{боковая сторона}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{\text{боковая сторона}} \]

\[ \text{боковая сторона} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \]

Ближайший вариант к этому значению — 14. Однако, если угол при основании 60°, то треугольник будет равносторонним, и боковая сторона будет равна \( 16/\sqrt{3} \approx 9.2 \).

Если же угол при вершине равен 30°, то углы при основании равны \( (180 - 30) / 2 = 75^\circ \).

Предположим, что угол при основании — это угол между боковой стороной и основанием. Тогда:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\text{половина основания}}{8} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{\text{половина основания}}{8} \]

\[ \text{половина основания} = 4 \]

\[ \text{основание} = 8 \]

Теперь найдем боковую сторону, используя теорему Пифагора:

\[ \text{боковая сторона}^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80 \]

\[ \text{боковая сторона} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \]

Проверим вариант г) 14. Если боковая сторона равна 14, а высота 8, то половина основания равна \( \sqrt{14^2 - 8^2} = \sqrt{196 - 64} = \sqrt{132} \approx 11.48 \). Угол при основании тогда \( \text{arctg}(8 / \sqrt{132}) \approx 35^\circ \).

Проверим вариант а) 16. Если боковая сторона равна 16, а высота 8, то половина основания равна \( \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} \approx 13.85 \). Угол при основании тогда \( \text{arctg}(8 / \sqrt{192}) \approx 30^\circ \).

Ответ: а) 16