3. Найдите длину медианы BM треугольника ABC, если известно, что AB=7, BC=12, ∠ABM=73° и ∠CBM=34°.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC. Угол при вершине B равен \(73°+34°=107°\).

По теореме косинусов для стороны AC: \(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos107°=7^2+12^2-2\cdot7\cdot12\cdot\cos107°=193-168\cos107°\).

По теореме Аполлония для медианы: \(AB^2+BC^2=2BM^2+\frac{AC^2}{2}\). Поэтому \(BM^2=\frac{2\cdot(7^2+12^2)-AC^2}{4}=\frac{193+168\cos107°}{4}\).

Подставляя \(\cos107°\approx-0.29237\), получаем \(BM\approx\sqrt{35.9704}\approx5.998\).

Ответ: \(BM\approx6\).