3. Найдите косинус угла между векторами m=2ā-3b, n=ā+2b, если |a|=2, |b|=√3 и угол между векторами ā и b равен 30°.

Решение:

Найдём скалярное произведение векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \):

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) \)

\( = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot 2\vec{b} - 3\vec{b} \cdot \vec{a} - 3\vec{b} \cdot 2\vec{b} \)

\( = 2|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6|\vec{b}|^2 \)

\( = 2|\vec{a}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6|\vec{b}|^2 \)

Теперь вычислим \( |\vec{a}|^2 \), \( |\vec{b}|^2 \) и \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):

\( |\vec{a}|^2 = 2^2 = 4 \)

\( |\vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \)

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle (\vec{a}, \vec{b})) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \)

Подставим значения в скалярное произведение \( \vec{m} \cdot \vec{n} \):

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 2(4) + 3 - 6(3) = 8 + 3 - 18 = -7 \)

Теперь найдём модули векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \):

\( |\vec{m}|^2 = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2 \)

\( = 4(4) - 12(3) + 9(3) = 16 - 36 + 27 = 7 \)

\( |\vec{m}| = \sqrt{7} \)

\( |\vec{n}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 \)

\( = 4 + 4(3) + 4(3) = 4 + 12 + 12 = 28 \)

\( |\vec{n}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \)

Косинус угла между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) равен:

\( \cos(\angle (\vec{m}, \vec{n})) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{-7}{\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7}} = \frac{-7}{2 \cdot 7} = \frac{-7}{14} = -0.5 \)

Ответ: -0.5.