3. Найдите остаток от деления числа 2²⁰⁰³ на: А) 2; Б) 4; В) 10; Г) 5; Д) 3.

1. А) Число 2²⁰⁰³ делится на 2 без остатка. Остаток: 0.
2. Б) Поскольку 2003 ≥ 2, число 2²⁰⁰³ делится на 4 без остатка. Остаток: 0.
3. В) Последняя цифра степеней двойки повторяется циклом 2, 4, 8, 6. Так как 2003 ≡ 3 (по модулю 4), последняя цифра 2²⁰⁰³ — 8. Остаток при делении на 10: 8.
4. Г) Степени двойки при делении на 5 дают цикл остатков 2, 4, 3, 1. Так как 2003 ≡ 3 (по модулю 4), остаток равен 3.
5. Д) 2 ≡ −1 (по модулю 3), поэтому 2²⁰⁰³ ≡ (−1)²⁰⁰³ ≡ −1 ≡ 2 (по модулю 3). Остаток равен 2.

Ответ: А) 0; Б) 0; В) 8; Г) 3; Д) 2.