5. Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

Квадраты натуральных чисел при делении на 10 могут давать только остатки 0, 1, 4, 5, 6, 9. Разобьём их на четыре группы: {0}, {5}, {1, 9}, {4, 6}.

Среди пяти квадратов по принципу Дирихле найдутся два остатка из одной группы. Если они равны, разность этих квадратов делится на 10. Если остатки равны 1 и 9 или 4 и 6, их сумма равна 10, поэтому сумма соответствующих квадратов делится на 10.

Следовательно, среди пяти квадратов найдутся два, сумма или разность которых делится на 10.